高中数学基础知识-cantor定理

cantor定理

cantor定理:若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，则它在[a,b]上一致连续。换言之，在闭区间上连续的函数在该闭区间一致连续。

历史上比较著名的康托(Cantor)定理，大致有下列三个:

康托定理1：闭区间上的连续实函数是一致连续的。

康托定理2：一个集合本身的势严格小于其幂集的势。

康托定理3：如果一个全序集是可列集，且是稠密的，无最大和最小值的，则它一定和有理数集序同构。

cantor定理指的是在集合论中,任何集合A的幂集P(A)的势严格大于A的势.cantor定理对于有限集合成立,对于无限集合也同样成立.

下面给出由集合论的创始人康托尔于1891年所做的康托尔定理的证明:

设 f 是从 A 到 A 的幂集P(A)的任何函数.必须证明这个f必定不是满射的.要如此,展示一个A的子集不在f的像中就足够了.这个子集是:

B={x ∈A : x /∈ f(x)}(注:符号:/∈代表的是不属于)

要证明 B 不在 f 的像中,假设 B 在 f 的像中. 那么对于某个 y ∈ A,我们有 f(y) = B.现在考虑 y ∈ B 还是 y /∈B?如果 y ∈ B,则 y ∈ f(y),但是通过 B 的定义,这蕴涵了y /∈B.在另一方面,如果 y /∈B,则 y /∈f(y) 并因此 y∈B.任何方式下都是矛盾.因为 x 在表达式" x /∈f(x)" 中重复出现,这是对角论证法.

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