高中数学基础知识-反三角函数的导数

反三角函数的导数

反正弦函数的求导：(arcsinx)'=1/√(1-x^2)。反余弦函数的求导：(arccosx)'=-1/√(1-x^2)。反正切函数的求导：(arctanx)'=1/(1+x^2)。反余切函数的求导：(arccotx)'=-1/(1+x^2)。

反正弦函数的求导

(arcsinx)'=1/√(1-x^2)

反余弦函数的求导

(arccosx)'=-1/√(1-x^2)

反正切函数的求导

(arctanx)'=1/(1+x^2)

反余切函数的求导

(arccotx)'=-1/(1+x^2)

为限制反三角函数为单值函数，将反正弦函数的值y限在-π/2≤y≤π/2，将y作为反正弦函数的主值，记为y=arcsin x。

相应地。反余弦函数y=arccos x的主值限在0≤y≤π；反正切函数y=arctan x的主值限在-π/2

反三角函数的和差公式与对应的三角函数的和差公式没有关系：

y=arcsin(x)，定义域[-1，1]，值域[-π/2,π/2]；

y=arccos(x)，定义域[-1，1]，值域[0，π]；

y=arctan(x)，定义域(-∞，+∞)，值域(-π/2，π/2)；

y=arccot(x)，定义域(-∞，+∞)，值域(0，π)；

sin(arcsinx)=x，定义域[-1，1]，值域[-1，1]arcsin(-x)=-arcsinx；

证明方法如下：设arcsin(x)=y,则sin(y)=x，将这两个式子代入上式即可得。

其他几个用类似方法可得。

cos(arccosx)=x，arccos(-x)=π-arccosx。

tan(arctanx)=x，arctan(-x)=-arctanx。

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