高中数学基础知识-复数的指数形式

复数的指数形式

复数指数形式：e^(iθ）=isinθ＋cosθ。证明方法就是把e^(iθ）和sinθ，cosθ展开成无穷级数。将复数化为三角表示式和指数表示式是：复数z=a+bi有三角表示式z=rcosθ＋irsinθ，可以化为指数表示式z=r*exp(iθ）。

复数的指数形式是什么

复数指数形式：e^(iθ）=isinθ＋cosθ。

证明方法就是把e^(iθ）和sinθ，cosθ展开成无穷级数。

将复数化为三角表示式和指数表示式是：复数z=a+bi有三角表示式z=rcosθ＋irsinθ，可以化为指数表示式z=r*exp(iθ）。

exp()为自然对数的底e的指数函数。即：exp(iθ）＝cosθ＋isinθ。证明可以通过幂级数展开或对函数两端积分得到，是复变函数的基本公式。

复数有多种表示形式：代数形式、三角形式和指数形式等。

代数形式：z=a+bi，a和b都是实数，a叫做复数的实部，b叫做复数的虚部，i是虚数单位，i^2=-1。

三角形式：z=r(cosθ＋isinθ）。r=√（a^2+b^2)，是复数的模（即绝对值），θ是以x轴为始边，射线OZ为终边的角，叫做复数的辐角，辐角的主值记作arg(z)。

复数的定义

数集拓展到实数范围内，仍有些运算无法进行（比如对负数开偶数次方），为了使方程有解，我们将数集再次扩充。

在实数域上定义二元有序对z=(a,b)，并规定有序对之间有运算“+”、“×”（记z1=(a,b)，z2=(c,d)）：

z1+z2=(a+c,b+d)

z1×z2=(ac-bd,bc+ad)

容易验证，这样定义的有序对全体在有序对的加法和乘法下成一个域，并且对任何复数z，我们有

z=(a,b)=(a,0)+(0,1)×(b,0)

令f是从实数域到复数域的映射，f(a)=(a,0)，则这个映射保持了实数域上的加法和乘法，因此实数域可以嵌入复数域中，可以视为复数域的子域。

记i＝(0,1)，则根据我们定义的运算，(a,b)=(a,0)+(0,1)×(b,0)=a+bi，i×i=(0,1)×(0,1)=(-1,0)=-1，这就只通过实数解决了虚数单位i的存在问题。

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