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高中数学基础知识-复数的指数形式

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李慧文老师
原创
2024-09-04 16:17:45

复数的指数形式

复数指数形式:e^(iθ)=isinθ+cosθ。证明方法就是把e^(iθ)和sinθ,cosθ展开成无穷级数。将复数化为三角表示式和指数表示式是:复数z=a+bi有三角表示式z=rcosθ+irsinθ,可以化为指数表示式z=r*exp(iθ)。

复数的指数形式是什么

复数指数形式:e^(iθ)=isinθ+cosθ。

证明方法就是把e^(iθ)和sinθ,cosθ展开成无穷级数。

将复数化为三角表示式和指数表示式是:复数z=a+bi有三角表示式z=rcosθ+irsinθ,可以化为指数表示式z=r*exp(iθ)。

exp()为自然对数的底e的指数函数。即:exp(iθ)=cosθ+isinθ。证明可以通过幂级数展开或对函数两端积分得到,是复变函数的基本公式。

复数有多种表示形式:代数形式、三角形式和指数形式等。

代数形式:z=a+bi,a和b都是实数,a叫做复数的实部,b叫做复数的虚部,i是虚数单位,i^2=-1。

三角形式:z=r(cosθ+isinθ)。r=√(a^2+b^2),是复数的模(即绝对值),θ是以x轴为始边,射线OZ为终边的角,叫做复数的辐角,辐角的主值记作arg(z)。

复数的定义

数集拓展到实数范围内,仍有些运算无法进行(比如对负数开偶数次方),为了使方程有解,我们将数集再次扩充。

在实数域上定义二元有序对z=(a,b),并规定有序对之间有运算“+”、“×”(记z1=(a,b),z2=(c,d)):

z1+z2=(a+c,b+d)

z1×z2=(ac-bd,bc+ad)

容易验证,这样定义的有序对全体在有序对的加法和乘法下成一个域,并且对任何复数z,我们有

z=(a,b)=(a,0)+(0,1)×(b,0)

令f是从实数域到复数域的映射,f(a)=(a,0),则这个映射保持了实数域上的加法和乘法,因此实数域可以嵌入复数域中,可以视为复数域的子域。

记i=(0,1),则根据我们定义的运算,(a,b)=(a,0)+(0,1)×(b,0)=a+bi,i×i=(0,1)×(0,1)=(-1,0)=-1,这就只通过实数解决了虚数单位i的存在问题。

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