高中数学基础知识-多元函数连续,偏导数存在,可微之间的关系

多元函数连续,偏导数存在,可微之间的关系

多元函数f在其定义域内某点可微，则多元函数f在该点偏导数存在，反过来则不一定成立。多元函数函数f在其定义域内的某点可微,则多元函数f在该点连续，反过来则不一定成立。多元函数f在其定义域内某点是否连续与偏导数是否存在无关。

多元函数f在其定义域内某点可微，则多元函数f在该点偏导数存在，反过来则不一定成立。多元函数函数f在其定义域内的某点可微,则多元函数f在该点连续，反过来则不一定成立。多元函数f在其定义域内某点是否连续与偏导数是否存在无关。可微的充要条件：函数的偏导数在某点的某邻域内存在且连续，则多元函数f在该点可微。

多元函数的本质是一种关系，是两个集合间一种确定的对应关系。这两个集合的元素可以是数；也可以是点、线、面、体；还可以是向量、矩阵等等。一个元素或多个元素对应的结果可以是唯一的元素，即单值的。也可以是多个元素，即多值的。

人们最常见的函数，以及目前我国中学数学教科书所说的“函数”，除有特别注明者外，实际上（全称）是一元单值实变函数。

设D为一个非空的n 元有序数组的集合， f为某一确定的对应规则。若对于每一个有序数组( x1,x2,…,xn)∈D，通过对应规则f，都有唯一确定的实数y与之对应，则称对应规则f为定义在D上的n元函数。

记为y=f(x1,x2,…,xn) 其中 ( x1,x2,…,xn)∈D。 变量x1,x2,…,xn称为自变量，y称为因变量。

当n=1时，为一元函数，记为y=f(x),x∈D，当n=2时，为二元函数，记为z=f(x,y),(x,y)∈D。二元及以上的函数统称为多元函数。

人们常常说的函数y=f(x)，是因变量与一个自变量之间的关系，即因变量的值只依赖于一个自变量，称为一元函数。

但在许多实际问题中往往需要研究因变量与几个自变量之间的关系，即因变量的值依赖于几个自变量。

例如，某种商品的市场需求量不仅仅与其市场价格有关，而且与消费者的收入以及这种商品的其它代用品的价格等因素有关，即决定该商品需求量的因素不止一个而是多个。要全面研究这类问题，就需要引入多元函数的概念。

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