高中数学基础知识-n阶矩阵一定有n个特征值吗？？

n阶矩阵一定有n个特征值吗？？

n阶矩阵有n个特征值（包括相同的特征值）。三阶矩阵就一定有3个特征值，因为求特征值的时候，是算|xE-A|=0的根，|xE-A|是个3次多项式，必定有3个根。矩阵的秩就是非零特征值的个数。现在r(A)=1，就是说，3个根中只有1个非零根，那剩下两个必定是0，是这样看出来的。

n阶矩阵至少有n个特征值吗

是的，n阶矩阵一定有n个特征值。因为特征值是特征多项式的根,n阶方阵的特征多项式是个n次多项式,根据代数基本定理,n次多项式有且只有n个根(重根按重数计算),这些根可能是实数,也可能是复数。

更加详细的说法为：一个n阶矩阵一定有n个特征值（包括重根），也可能是复根。一个n阶实对称矩阵一定有n个实特征值（包括重根）。每一个特征值至少有一个特征向量（不止一个）。不同特征值对应特征向量线性无关。

n阶矩阵相关信息

设A是数域P上的一个n阶矩阵，λ是一个未知量。

称为A的特征多项式，记(λ)=|λE-A|，是一个P上的关于λ的n次多项式，E是单位矩阵。

(λ)=|λE-A|=λ+a1λ+…+an= 0是一个n次代数方程，称为A的特征方程。特征方程(λ)=|λE-A|=0的根(如：λ0)称为A的特征根(或特征值)。n次代数方程在复数域内有且仅有n个根，而在实数域内不一定有根，因此特征根的多少和有无，不仅与A有关，与数域P也有关。

性质1：若λ是可逆阵A的一个特征根，x为对应的特征向量，则1/λ 是A的逆的一个特征根，x仍为对应的特征向量。

性质2：若 λ是方阵A的一个特征根，x为对应的特征向量，则λ 的m次方是A的m次方的一个特征根，x仍为对应的特征向量。

性质3：设λ1，λ2，…,λm是方阵A的互不相同的特征值。xj是属于λi的特征向量( i=1,2,…,m)，则x1,x2,…,xm线性无关，即不相同特征值的特征向量线性无关。

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