高中数学基础知识-矩阵a^2=a说明什么？

矩阵a^2=a说明什么？

矩阵a^2=a说明a的特征值只能是0或1，且有a(a-E) = 0。a^2=a,即是a^2-a=0, 即a(a-E)=0, 所以R(a)+(a-E)小于或等于n,又因为a+(E-a)=E,所以R(a)+(a-E)=R(a)+R(E-a)大于或等于n,于是R(a)+(a-E)=n。

矩阵a^2=a说明因为 a^2=a, 所以a的特征值只能是0或1, 且有a(a-E) = 0

所以r(a) + r(a-E) <= n，而r(a) + r(a-E) >= r(a-a+E) = r(E) = n，所以r(a) + r(a-E) = n。所以 aX=0 的基础解系与 (a-E)X=0 的基础解系含(n-r(a)) + (n-r(a-E)) = n 个向量，这n个向量是a的分别属于特征值0与1的特征向量。

矩阵的运算是数值分析领域的重要问题。将矩阵分解为简单矩阵的组合可以在理论和实际应用上简化矩阵的运算。对一些应用广泛而形式特殊的矩阵，例如稀疏矩阵和准对角矩阵，有特定的快速运算算法。关于矩阵相关理论的发展和应用，请参考《矩阵理论》。在天体物理、量子力学等领域，也会出现无穷维的矩阵，是矩阵的一种推广。

看它的秩是否为1，若为1的话一定可以写成一行(a)乘一列(b)，即A=ab。这样的话，A^2=a(ba)b，注意这里ba为一数，可以提出，即A^2=(ba)A，看他能否对角化，如果可以的话即存在可逆矩阵a，使a^(-1)Aa=∧，这样A=a∧a^(-1)，A^2=a∧a^(-1)a∧a^(-1)=a∧^2a^(-1);最后，用最原始的方法乘，矩阵的乘法。

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